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数学
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已知函数f(x)=
2
x
+alnx-2.
(1)若曲线y=f(x)在点P(1,f(1))处的切线与直线y=
1
3
x+1垂直,求实数a的值;
(2)在(1)的条件下,求函数f(x)的单调区间.
人气:325 ℃ 时间:2019-08-18 13:31:41
解答
(1)∵f(x)=
2
x
+alnx-2的定义域为(0,+∞),∴f′(x)=-
2
x
2
+
a
x
;
又曲线y=f(x)在点P(1,f(1))处的切线与直线
y=
1
3
x+1
垂直,∴f′(1)=-
2
1
2
+
a
1
;
∴a=-1,即a的值是-1;
(2)由(1)知,a=-1,∴f(x)=
2
x
-lnx-2,定义域为(0,+∞);∴f′(x)=-
2
x
2
-
1
x
=-
x+2
x
2
;
∵x∈(0,+∞),∴f′(x)=-
2
x
2
-
1
x
=-
x+2
x
2
<0恒成立;
所以,函数f(x)的单调递减区间是(0,+∞),无增区间.
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