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动点P在x轴与直线l:y=3之间的区域(含边界)上运动,且到点F(0,1)和直线l的距离之和为4.
(1)求点P的轨迹C的方程;
(2)过点Q(0,-1)作曲线C的切线,求所作的切线与曲线C所围成区域的面积.
人气:396 ℃ 时间:2020-02-04 12:56:20
解答
(1)设P(x,y),根据题意,得
x
2
+
(y−1)
2
+3-y=4,化简,得点P的轨迹C的方程y=
1
4
x
2
(y≤3).(4分)
(2)设过Q的直线方程为y=kx-1,代入抛物线方程,整理得x
2
-4kx+4=0.
由△=16k
2
-16=0.解得k=±1.
于是所求切线方程为y=±x-1.
切点的坐标为(2,1),(-2,1).
由对称性知所求的区域的面积为S=
2
∫
20
[
1
4
x
2
−(x−1)]dx=
3
4
.(10分)
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