已知函数f(x)=a-1/丨x丨(1)求证函数f(x)在(0,∞)上是增函数(2)若f(x)<2x在(1,+∞)上恒成立求a的范围
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人气:403 ℃ 时间:2020-06-16 17:29:08
解答
①在(0,∞)上时,f(x)=a-1/丨x丨=a-1/x
令x2>x1>0 ,则 f(x2)-f(x1) =1/x1-1/x2 =(x2-x1)/(x1x2)
因为x2>x1>0 ,即x2-x1>0,x1x2>0,所以(x2-x1)/(x1x2)>0,即f(x2)-f(x1)>0 所以f(x)在(0,∞)上是增函数.
②f(x)x1
则 g(x2)-g(x1) =2x2-1/x1+2x1-1/x2 =(x2-x1)(2x1x2-1)/(x1x2)
又 x2>x1>1 ,即x2-x1>0,2x1x2-1>0
所以g(x2)-g(x1)>0
g(x)在(1,+∞)上为增函数
所以g(x)>g(1)=3
a≤g(1)=3
即 a≤3
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