设定义域、值域均为R的函数y = f (x)的反函数为y = f－1(x).若f (x) + f (－x) = 4对一切成立,则_数学解答

设定义域、值域均为R的函数y = f (x)的反函数为y = f－1(x).若f (x) + f (－x) = 4对一切成立,则f－1(x
设定义域、值域均为R的函数y = f (x)的反函数为y = f^-1(x).若f (x) + f (－x) = 4对一切成立,则f^-1(x-3)+f^-1(7-x)的值

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解答

令y1=f^-1(x-3),y2=f^-1(7-x),则f^-1(x-3)+f^-1(7-x)=y1+y2
根据已知,反函数f(y1)=x-3,f(y2)=7-x,发现f(y1)+f(y2)=x-3+7-x=4
又已知f(x)+f(-x)=4对一切成立,所以y1=-y2,y1+y2=0即f^-1(x-3)+f^-1(7-x)=0