（1）猜想：EF=BE+DF．理由如下：
将△ADF绕着点A按顺时针方向旋转90°，得△ABF′，易知点F′、B、E在一直线上．如图1．
∵AF′=AF，
∠F′AE=∠1+∠3=∠2+∠3=90°-45°=45°=∠EAF，
又∵AE=AE，
∴△AF′E≌△AFE．
∴EF=F′E=BE+DF；
（2）由（1）得 EF=x+y
又 CF=1-y，EC=1-x，
∴（1-y）²+（1-x）²=（x+y）²．
化简可得y=

1−x

1+x

（0＜x＜1）；
（3）①当点E在点B、C之间时，由（1）知   EF=BE+DF，故此时⊙E与⊙F外切；
②当点E在点C时，DF=0，⊙F不存在．
③当点E在BC延长线上时，将△ADF绕着点A按顺时针方向旋转90°，得△ABF′，图2．
有  AF′=AF，∠1=∠2，BF′=FD，
∴∠F′AF=90°．
∴∠F′AE=∠EAF=45°．
又 AE=AE，
∴△AF′E≌△AFE．
∴EF=EF′=BE-BF′=BE-FD．
∴此时⊙E与⊙F内切．
综上所述，当点E在线段BC上时，⊙E与⊙F外切；当点E在BC延长线上时，⊙E与⊙F内切；
（4）△EGF与△EFA能够相似，只要当∠EFG=∠EAF=45°即可．
这时有 CF=CE．…（1分）
设BE=x，DF=y，由（3）有EF=x-y．
由 CE²+CF²=EF²，得（x-1）²+（1+y）²=（x-y）²．
化简可得  y=

x−1

x+1

（x＞1）．
又由 EC=FC，得x-1=1+y，即x-1=1+

x−1

x+1

，化简得
x²-2x-1=0，解之得                  
x=1+

2

或x=1-

2

（不符题意，舍去）．
∴所求BE的长为1+

2

．