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数学
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(理科)正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为1,在正方体的表面上与点A距离为
2
3
3
的点的集合形成一条曲线,则这条曲线的长度为 ___ .
人气:264 ℃ 时间:2019-10-10 04:37:45
解答
由题意,此问题的实质是以A为球心、
2
3
3
为半径的球在正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
各个面上交线的长度计算,正方体的各个面根据与球心位置关系分成两类:ABCD、AA
1
DD
1
、AA
1
BB
1
为过球心的截面,截痕为大圆弧,各弧圆心角为
π
6
、A
1
B
1
C
1
D
1
、B
1
BCC
1
、D
1
DCC
1
为与球心距离为1的截面,截痕为小圆弧,由于截面圆半径为r=
3
3
,故各段弧圆心角为
π
2
.∴这条曲线长度为3•
π
6
•
2
3
3
+3•
π
2
•
3
3
=
5
3
6
π
故答案为
5
3
6
π
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