本题是许瓦兹不等式,不是用中值定理来证的.
以下所有积分区域均为[a→b]
构造函数g(t)=t^2∫e^f(x)dx + 2(b-a)t + ∫e^-f(x)dx (1)
由于定积分的结果只是一个数字,因此g(t)关于t是一个二次函数,注意到b-a=∫ 1 dx
因此得：g(t)=t^2∫e^f(x)dx + 2t∫ 1 dx + ∫e^-f(x)dx
=∫ [t^2e^f(x)+ 2t + e^-f(x)]dx 注意到被积函数是一个完全平方
=∫ { te^[f(x)/2] + e^[-f(x)/2] }^2 dx
≥0
因此g(t)是一个恒≥0的二次函数,因此判别式Δ≤0
对照（1）式写出判别式：
4(b-a)² - 4∫e^f(x)dx∫e^-f(x)dx ≤ 0
整理后即为：∫e^f(x)dx+∫e^-f(x)dx≥(b-a)^2,证毕.
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