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数学
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已知函数f(x)=
1
3
x
3
-
1
2
x
2
+cx+d在x=2处取得极值.
(1)求c的值;
(2)当x<0时,f(x)<
1
6
d
2
+2d恒成立,求d的取值范围.
人气:381 ℃ 时间:2020-04-01 16:41:32
解答
(1)∵f(x)在x=2处取得极值,
∴f′(2)=4-2+c=0,
∴c=-2.
∴f(x)=
1
3
x
3
-
1
2
x
2
-2x+d,
(2)∵f′(x)=x
2
-x-2=(x-2)(x+1),
∴当x∈(-∞,-1]时,f′(x)>0,函数单调递增,当x∈(-1,2]时,f′(x)<0,函数单调递减.
∴x<0时,f(x)在x=-1处取得最大值
7
6
+d
,
∵x<0时,f(x)<
1
6
d
2
+2d
恒成立,
∴
7
6
+d
<
1
6
d
2
+2d
,即(d+7)(d-1)>0,
∴d<-7或d>1,
即d的取值范围是(-∞,-7)∪(1,+∞).
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