解所求的直线为3x-4y+c=0
有该直线与圆(x-1)²+(y-2)²=1相切
即圆心(1,2)到直线3x-4y+c=0的距离为1
则d=/3-8+c//√3^2+(-4)^2=1
即/c-5/=5
解得c=0或c=10
故直线方程为3x-4y=0或3x-4y+10=0.