已知实数a.b.c满足a^+b^=1,b^+c^=2,c^+a^=2,则ab+bc+ca的最小值为?
人气:270 ℃ 时间:2019-10-17 04:30:28
解答
∵a²+b²=1 ①
b²+c²=2 ②
c²+a²=2 ③
有②、③得:b²+c²=c²+a²
∴b²=a²
把b²=a²代入①得;a²=b²=0.5
把a²=b²=0.5代入②得;c²=1.5
ab+bc+ca=[﹙a+b+c﹚²-﹙a²+b²+c²﹚]/2
=1/2[(a+b+c)²-﹙5/2﹚]
当﹙a+b+c﹚最小时;
1/2(a+b+c)²-﹙5/2﹚才是最小的
∴有两种情况
一种是 a=b>0 c<0
另一种是 c>0 a=b<0
① :a=b=√2/2 c=﹣﹙√6/2﹚
∴a+b+c=﹙2√2-√6﹚/2
∴1/2[(a+b+c)²-﹙5/2﹚]=﹙1-2√3﹚/2
②a=b=﹣﹙√2/2﹚ c=√6/2
∴1/2(a+b+c)²-﹙5/2﹚=﹙1-2√3﹚/2
∵﹙2-2√3﹚/2=﹙1-2√3﹚/2
综上所述:
∴﹙ab+bc+ca﹚min=﹙1-2√3﹚/2=0.5-√3
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