BE²+FC²=EF²．理由如下：
∵△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，
∴∠2=∠C=45°，
把△ACF绕点A顺时针旋转90°得到△ABD，如图，则∠1=∠C=45°，BD=CF，AF=AD，∠BAD=∠CAF，∠DAF=90°，
∵∠EAF=45°，
∴∠CAF+∠BAE=45°，
∴∠BAE+∠BAD=45°，即∠EAD=45°，
∴∠EAD=∠EAF，
在△AEF和△AED中

AE＝AE ∠EAF＝∠EAD AF＝AD

，
∴△AEF≌△AED，
∴EF=DE，
∵∠DBE=∠1+∠2=90°，
∴BE²+BD²=DE²，
∴BE²+FC²=EF²．