已知函数f(x)=px-p/x-lnx,g(x)=lnx-p/x-(e²-2e)/px,e=2.71828..
若f(x)在其定义域内是单调函数,求p的取值范围
对于区间(1,2)中的任意常数p,是否存在x>0是f(x)≤g(x)成立?若存在,求符合条件的一个x,否则说明理由
人气:164 ℃ 时间:2019-12-01 13:50:35
解答
对f(x)求导,令导函数为0,得px^2-x+1=0,判别式为负,解出p>1/4
不存在,设k(x)=(x)-g(x),对k(x)求导并令其为0,得p^2x^2-2px-(e^2-2e)=0,判别式=4p^2(e-1)^2>0恒有2不相等实根x1,x2,知道k(x)在(负无穷,x1)及(x2,正无穷)上单调递增,在(x1,x2)上单调递减,所以当x>0时,k(x)min=k(x2)=k(e/p)=2(e-2+lnp)>2(e-2+ln1)=2(e-2)>0恒正,即当x>0时,对于区间(1,2)中的任意常数p,f(x)>g(x)恒成立
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