已知定义在R上的可导函数y=f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f（x），且y=f（x+1）为偶函数，f（2）=1，则不_数学解答

已知定义在R上的可导函数y=f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f（x），且y=f（x+1）为偶函数，f（2）=1，则不等式f（x）＜e^x的解集为（　　）
A. （-∞，e⁴）
B. （e⁴，+∞）
C. （-∞，0）
D. （0，+∞）

人气：283 ℃　时间：2019-11-21 18:55:17

解答

∵y=f（x+1）为偶函数
∴y=f（x+1）的图象关于x=0对称
∴y=f（x）的图象关于x=1对称
∴f（2）=f（0）
又∵f（2）=1
∴f（0）=1
设g(x)＝

f(x)

（x∈R），
则g′(x)＝

f′(x)ex−f(x)ex

(ex)2

＝

f′(x)−f(x)

又∵f′（x）＜f（x）
∴f′（x）-f（x）＜0
∴g′（x）＜0
∴y=g（x）单调递减
∵f（x）＜e^x
∴

f(x)

＜1
即g（x）＜1
又∵g(0)＝

f(0)

＝1
∴g（x）＜g（0）
∴x＞0
故答案为：（0，+∞）