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数学
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已知抛物线y
2
=4x,焦点为F,顶点为O,点P在抛物线上移动,Q是OP的中点.
(1)求点Q的轨迹方程;
(2)若倾斜角为60°且过点F的直线交Q的轨迹于A,B两点,求弦长|AB|.
人气:103 ℃ 时间:2020-04-01 02:41:48
解答
(1)设Q(x,y),∵Q是OP中点,∴P(2x,2y)
又∵点P在抛物线y
2
=4x上
∴(2y)
2
=4×2x,即y
2
=2x为点Q的轨迹方程
(2)∵F(1,0),
k
AB
=
3
,∴直线AB的方程为:
y=
3
(x−1)
设点A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
直线AB的方程代入y
2
=2x,消去y得:3x
2
-8x+3=0
∴
x
1
+
x
2
=
8
3
,
x
1
x
2
=1
∴
|AB|=
1+
k
2
(
x
1
+
x
2
)
2
−4
x
1
x
2
=
4
7
3
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