如图,在正方体ABCD-A
1B
1C
1D
1中,E、F为棱AD、AB的中点.

(Ⅰ)求证:EF∥平面CB
1D
1;
(Ⅱ)求证:平面CAA
1C
1⊥平面CB
1D
1.
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解答

(Ⅰ)证明:连接BD.
在正方体AC
1中,对角线BD∥B
1D
1.
又因为E、F为棱AD、AB的中点,
所以EF∥BD.
所以EF∥B
1D
1.(4分)
又B
1D
1⊂平面CB
1D
1,EF⊄平面CB
1D
1,
所以EF∥平面CB
1D
1.(7分)
(Ⅱ)因为在正方体AC
1中,
AA
1⊥平面A
1B
1C
1D
1,而B
1D
1⊂平面A
1B
1C
1D
1,
所以AA
1⊥B
1D
1.(10分)
又因为在正方形A
1B
1C
1D
1中,A
1C
1⊥B
1D
1,
所以B
1D
1⊥平面CAA
1C
1.(12分)
又因为B
1D
1⊂平面CB
1D
1,
所以平面CAA
1C
1⊥平面CB
1D
1.(14分)
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