（Ⅰ）连结A₁B与AB₁交于E，连结DE，则E为A₁B的中点，故DE为△A₁BC₁的中位线，∴BC₁∥DE．
又DE⊂平面AB₁D，BC₁⊄平面AB₁D，∴BC₁∥平面AB₁D．（6分）
（Ⅱ）过点D作DH⊥A₁B₁，∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∴AA₁⊥平面A₁B₁C₁，AA₁⊥DH，AA₁∩A₁B₁=A₁，
∴DH⊥平面ABB₁A₁．DH为三棱锥D-ABB₁的高．（8分）
∵S△ABB1=

1

2

•AB•BB1=

2

MH=

1

2

A1B1=

2

，（10分）
且 DH=A1Dtan

π

3

=

3

2

，
∵VB-AB1D=VD-ABB1=

1

3

×

3

2

×

2

=

6

6

．（12分）