已知M(3,2),F为y^2=2x的焦点,点P在该抛物线上移动,当|PM|+|PN|取最小值时,点P的坐标为y^2=2x,F（0._数学解答

已知M(3,2),F为y^2=2x的焦点,点P在该抛物线上移动,当|PM|+|PN|取最小值时,点P的坐标为
y^2=2x,F（0.5,0）,准线x=-0.5
x=3,|y|=√6>2,M(3,2)在抛物线内
PM//X轴,与抛物线的交点即为|PM|+|PF|取最小值的点P
这时|PM|+|PF|最小值=点M到准线的距离
y=2,x=2
P(2,2)
为何PM//X轴就可取到最小值?

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解答

任取一点P在抛物线上,有|PM|+|PF|,由抛物线定义知,有P点到焦点F的距离等于到准线的距离,设PN垂直于准线,|PM|+|PF|=|PM|+|PN| 由图知三点共线时|PM|+|PN|=|MN| 所以可知当MN垂直准线时|PM|+|PN|最小即|PM|+|PF|最小.