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数学
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如图,PC切圆O于C,AC为圆的直径,PEF为圆的割线,AE、AF与直线PO相交于B、D.求证:AB=DC,BC=AD.
人气:246 ℃ 时间:2019-08-21 17:05:36
解答
证明:作CQ⊥PD于Q,连接EO,EQ,EC,OF,QF,CF,
∴PC
2
=PQ•PO(射影定理),
又∵PC
2
=PE•PF,
∴PQ•PO=PE•PF
所以EFOQ四点共圆,
∠EQF=∠EOF=2∠BAD,
又∠PQE=∠OFE=∠OEF=∠OQF,
而CQ⊥PD,所以∠EQC=∠FQC,因为∠AEC=∠PQC=90°,
故B、E、C、Q四点共圆,
所以∠EBC=∠EQC=
1
2
∠EQF=
1
2
∠EOF=∠BAD,
∴CB∥AD,
易证△AOD≌△COB,所以BO=DO,即四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=DC,BC=AD.
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