已知点G是三角形ABC重心,若角A=120度,向量AB×向量AC=-2,则|向量AG|的最小值为?
已知点G是三角形ABC重心
AG=1/3(AB+AC)
若角A=120度,向量ABX向量AC=-2
向量ABX向量AC=-2=|AB|*|AC|*cosA=-1/2|AB|*|AC|
|AB|*|AC|=4
|AG|^2=1/9[|AB|^2+2|AB|*|AC|*cosA+|AC|^2]
=1/9[|AB|^2+|AC|^2-|AB|*|AC|]
由均值不等式得
|AG|^2=1/9[|AB|^2+|AC|^2-|AB|*|AC|]>=1/9(2|AB|*|AC|-|AB|*|AC|)=4/9
AG=2/3
这种方法解答,但是一开始不是求出AB×AC的值了
为什么不可以开始的时候用
AB乘AC=4
均值不等式2根号下ab≤a+b
求出AB+AC的最小值=中线的两倍
AG=2/3中线
答案我算了不一样啊.
为什么不可以这样做呢= =.
人气:109 ℃ 时间:2019-08-17 20:25:05
解答
后一种方法的逻辑没太懂……问题应该是出在AB+AC的理解上.你那里用均值不等式算的应该是|AB|+|AC|,而向量AG=(向量AB+向量AC)/3,不是模相加,问题可能出在这里.
“AB+AC的最小值=中线的两倍”这句话怎么得出来的?应该是四倍才对.为什么是4倍呀。等号成立时|AB|=|AC|, 三角形就确定了,算出来就是4倍。我倒奇怪你的2倍是怎么得到的呢?设BC中点为D,确实向量AB+向量AC=向量AD的2倍,但能说明什么呢?得到的又不是长度(模)的关系。你是不是把这个式子理解成|AB|+|AC|=2|AD|了?
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