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数学
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设f(x)=
a
x
+xlnx,g(x)=x
3
-x
2
-3.
(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在x=1处的切线的斜率;
(2)如果存在x
1
,x
2
∈[0,2],使得g(x
1
)-g(x
2
)≥M成立,求满足上述条件的最大整数M.
人气:498 ℃ 时间:2019-11-16 04:24:48
解答
(1)当a=2时,f(x)=
2
x
+xlnx,
f′(x)=−
2
x
2
+lnx+1,
∴f(1)=2,f′(1)=-1.
∴y=f(x)在x=1处的切线斜率为-1;
(2)存在x
1
,x
2
∈[0,2],使得g(x
1
)-g(x
2
)≥M成立
g(x)=x
3
-x
2
-3,g′(x)=3x
2
-2x=3x(x-
2
3
)
当x∈(0,
2
3
)时,g′(x)<0,当x∈(
2
3
,2)时,g′(x)>0,
∴g(x)
min
=g(
2
3
)=-
85
27
,g(x)
max
=g(2)=1
g(x)
max
-g(x)
min
=
112
27
∴满足条件的最大整数M=4
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