由于所求直线与2X-Y+1=0平行,所以可以设所求直线的直线方程为 2X-Y+a=0,其中a为待定实参数.
这样,直线上的点都满足
Y = 2X + a .(1)
将(1)式带入圆（X-1)^2+(Y+1)^2=5的方程,可以得到直线与圆的交点必须满足的方程：
(X - 1)^2 + (2X + a + 1)^2 = 5.
将上式展开,有
5X^2 + 2(2a+1)X + (a^2 + 2a - 3) = 0 .(2)
由于直线与圆相切,因此直线与圆只能有一个交点.也就是说,关于X的2次方程(2),只能有2个相同的实根.
这样,必须有,
[2(2a+1)]^2 = 20(a^2 + 2a - 3) .(3)
因此,待定实参数a必须满足(3)式.
由（3）式解得a的2组
a = 2；a = -8.
故,所求直线为
2X - Y + 2 = 0 和 2X - Y - 8 = 0.