（Ⅰ）∵函数f（x）=2cosx（sinx+cosx）=sin2x+1+cos2x= 2 sin（2x+ π 4 ）+1,∴f（ 5π 4 ）= 2 sin（ 5π 2 + π 4 ）+1= 2 sin 3π 4 +1= 2 × 2 2 +1=2． （Ⅱ）∵函数f（x）= 2 sin（2x+ π 4 ）+1,故它的最小正周期为 2π 2 =π． 令2kπ- π 2 ≤2x+ π 4 ≤2kπ+ π 2 ,k∈Z,求得kπ- 3π 8 ≤x≤kπ+ π 8 ,故函数的单调递增区间为[kπ- 3π 8 ,kπ+ π 8 ],k∈Z