∵f（x）是R上的偶函数，
∴f（-x）=f（x）；
又对x∈R都有f（2+x）=f（2-x），
∴f（2+（x-2））=f（2-（x-2）），
f（x）=f（4-x）；
∴f（-x）=f（4+x），
∴f（x）=f（4+x），
∴f（x）是以4为周期的函数；
当f（-3）=-2时，f（2013）=f（504×4-3）=f（-3）=-2；
故选：A．