已知F1,F2是椭圆的两焦点,P为椭圆上一点,若∠F1PF2=60°,则离心率e的范围是______.
人气:309 ℃ 时间:2019-08-21 07:12:50
解答
设椭圆方程为
+=1(a>b>0),|PF
1|=m,|PF
2|=n.
在△PF
1F
2中,由余弦定理可知,4c
2=m
2+n
2-2mncos60°.
∵m+n=2a,∴m
2+n
2=(m+n)
2-2mn=4a
2-2mn,
∴4c
2=4a
2-3mn.即3mn=4a
2-4c
2.
又mn≤
()2=a
2(当且仅当m=n时取等号),
∴4a
2-4c
2≤3a
2,∴
≥,即e≥
.
∴e的取值范围是[
,1).
故答案为
[,1)
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