设A的特征值为λ1,λ2,...,λn,若A是正规矩阵,则存在酉矩阵U,使得
A=U^H diag(λ1,λ2,...,λn) U,其中diag(λ1,λ2,...,λn)是对角线为λ1,λ2,...,λn的对角矩阵.又特征值的模为1,设λ1,λ2,...,λn的共轭分别为λ`1,λ`2,...,λ`n,故有
λ1λ`1=λ2λ`2=...=λnλ`n=1,且A^H=U^H diag(λ`1,λ`2,...,λ`n) U,
所以(A^H)A=(U^H diag(λ`1,λ`2,...,λ`n) U)(U^H diag(λ1,λ2,...,λn) U)
=U^H diag(λ1λ`1,λ2λ`2,...,λnλ`n) U=U^H I U=I,其中I为单位矩阵
所以A是酉矩阵
有疑问的地方请追问能不能给个正规阵一定能相似对角化的证明？schur三角化定理（这个知道的吧）：A酉相似与一个对角线为λ1，λ2，...，λn（A的特征值）的上三角矩阵R。故存在酉矩阵U，使得R=U^H A U，因A为正规矩阵，从而(R^H)R=(U^H A^H U)(U^H A U)=U^H A^H A U=U^H A A^H U=(U^H A U)(U^H A^H U)=R(R^H)，故R为正规矩阵比较(R^H)R和R(R^H)第i行第i列的元素，可知R为对角矩阵，且对角线为λ1，λ2，...，λn