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数学
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已知f(x)是定义在(0,+∞)上的可导函数,且满足xf′(x)-f(x)≥0,对任意正数a,b,若a>b,则必有( )
A. af(a)≤bf(b)
B. bf(b)≤af(a)
C. af(b)≤bf(a)
D. bf(a)≤af(b)
人气:206 ℃ 时间:2019-08-18 04:52:34
解答
F(x)=
f(x)
x
,
可得F'(x)=
1
x
2
[xf′(x)-f(x)],
又由xf′(x)-f(x)≥0,分2种情况讨论:
①xf′(x)-f(x)>0,所以 F'(x)>0即F(x)是增函数,
即当a>b>0时,F(a)>F(b),
∴
f(b)
b
<
f(a)
a
,从而af(b)<bf(a);
②xf′(x)-f(x)=0,所以F(x)是常数函数,
有
f(b)
b
=
f(a)
a
,即af(b)=bf(a);
综合有af(b)≤bf(a);
故选C;
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