可以用Cauchy不等式,但是要注意保证等号能够成立.
首先要减少约束条件,将第二个等式z = -2-y代入第一个等式得x-√3(y+1) = 1.
而所求式x²+y²+z² = x²+2y²+4+4y = x²+2(y+1)²+2.
由Cauchy不等式,(x²+2(y+1)²)(1+3/2) ≥ (x-√3(y+1))² = 1.
得x²+y²+z² = x²+2(y+1)²+2 ≥ 1/(1+3/2)+2 = 2/5+2 = 12/5.
可验证x = 2/5,y = -√3/5-1,z = -1+√3/5时等号成立.
故x²+y²+z²的最小值就是12/5.谢谢 是不是类似这种题目都可以先减少约束条件 以达到等号成立减少约束是必要的, 否则等号成立得到的方程会多于变量的个数.而且这里减少约束的过程是等价变形, 不会破坏取等的可能.所以尝试减少约束至少是此类题目的一个比较有希望的思考方向吧.还可以有另外的思路, 就是增加变量, 引入待定参数.就这道题来说(1+(√3/2-t)²+(√3/2+t)²)(x²+y²+z²) ≥ (x-(√3/2-t)y+(√3/2+t)z)².取t使等号能够成立.