∵a²+6b=-17，b²+8c=-23，c²+2a=14，
∴a²+6b+b²+8c+c²+2a=-26，
∴（a²+2a+1）+（b²+6b+9）+（c²+8c+16）=0，
即（a+1）²+（b+3）²+（c+4）²=0，
∴a+1=0，即a=-1；b+3=0，即b=-3；c+4=0，即c=-4；
∴a+b+c=-8．
故答案是：-8．