已知函数f(x)=1/2x^2-lnx 若g(x)=-2/3x^3+X^2.证明当X>1时,函数f(x)的图像恒在g(x)的上方.
人气:264 ℃ 时间:2019-09-09 18:28:26
解答
分析,要证明f(x)的图像恒在g(x)的上方,
即是证明,当x>1时,f(x)>g(x)
即是证明,1/2*x²-lnx>-2/3*x³+x²
即是证明,2/3*x³-1/2*x²-lnx>0.
证明:
设t(x)=2/3*x³-1/2*x²-lnx
t'=2x²-x-1/x
=(2x³-x²-1)/x
=(x-1)(2x²+x+1)/x
当x>1时,x-1>0,2x²+x+1>0
∴t'>0
∴t在(1,+∞)上增函数,
因此,t(x)>t(1)=2/3-1/2=1/6>0
∴2/3*x³-1/2*x²-lnx>0
即是,1/2*x²-lnx>-2/3*x³+x²
因此,当X>1时,函数f(x)的图像恒在g(x)的上方.
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