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数学
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如图,平面PAC⊥平面ABC,△PAC是正三角形,∠CAB=90°,AB=2AC.
(Ⅰ)求证:AB⊥PC;
(Ⅱ)求直线BC与平面PAB所成角的正弦值.
人气:260 ℃ 时间:2020-05-26 18:16:51
解答
(Ⅰ)∵平面PAC⊥平面ABC,∠CAB=90°,交线为AC;
∴AB⊥平面PAC
又∵PC⊂平面PAC,
∴AB⊥PC;
(Ⅱ)取AP的中点D,连接CD,DB.
则CD⊥PA,
∵AB⊥平面PAC,∴平面PAB⊥平面PAC,
∵平面PAB∩平面PAC=PA,
∴CD⊥平面PAB,则∠CBD为所求线面角; …(10分)
由已知不妨设:AC=1,则CD=
3
2
,AB=2,BC=
5
…(12分)
∴sin∠CBD=
CD
BC
=
15
10
,
即直线BC与平面PAB所成角的正弦值为
15
10
…(14分)
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