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数学
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x
1
与x
2
分别是实系数方程ax
2
+bx+c=0和-ax
2
+bx+c=0的一个根,且x
1
≠x
2
,x
1
≠0,x
2
≠0.求证:方程
a
2
x
2
+bx+c=0有一个根介于x
1
和x
2
之间.
人气:293 ℃ 时间:2019-08-17 00:10:11
解答
证明:由于x
1
与x
2
分别是方程ax
2
+bx+c=0和-ax
2
+bx+c=0的根,
所以有
a
x
1
2
+b
x
1
+c=0
−a
x
2
2
+b
x
2
+c=0
设f(x)=
a
2
x
2
+bx+c,
则f(x
1
)=
a
2
x
1
2
+bx
1
+c=-
a
2
x
1
2
,
f(x
2
)=
a
2
x
2
2
+bx
2
+c=
3a
2
x
2
2
,
∴f(x
1
)f(x
2
)=-
3
4
a
2
x
1
2
x
2
2
由于x
1
≠x
2
,x
1
≠0,x
2
≠0,
所以f(x
1
)f(x
2
)<0,
因此方程
a
2
x
2
+bx+c=0有一个根介于x
1
和x
2
之间.
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