已知定义在实数集上的函数y=f(x)满足条件:对于任意的x、y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y).
(1)求证:f(0)=0;
(2)试证明f(x)是奇函数,试举出两个这样的函数;
(3)若当x≥0时,f(x)<0,
1)试判断函数f(x)在R上的单调性,并证明之;
2)判断函数|f(x)|=a.所有可能的解的个数,并求出对应的a的范围.
人气:106 ℃ 时间:2020-03-24 02:09:30
解答
(1)令x=y=0.则f(0)=f(0)+f(0)所以f(0)=0
(2)令y=-x,则f(0)=f(-x)+f(x)
即f(-x)=-f(x)
故f(x)为奇函数;
例如:y=-2x,y=3x;
(3)1)任取x1<x2,则x2-x1>0,故 f(x2-x1)<0
又有题设知 f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1)<0
则该函数f(x2)<f(x1)
所以该函数f(x)为(-∞,+∞)单调减函数
2)由题设当x≥0时,f(x)<0,结合上证函数是奇函数可得x<0时,f(x)>0
又由1)知函数f(x)为(-∞,+∞)单调减函数故知函数|f(x)|在(-∞,0]上减,在[0,+∞)上增且f(0)=0
故有:
当a>0时,有两解;
当a=0时,有一解;
当a<0时,无解;
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