（1）因为函数y＝f(x−

1

2

)是偶函数，
所以二次函数f（x）=x²+bx+c的对称轴方程为x＝−

1

2

，故b=1．----------------------（4分）
又因为二次函数f（x）=x²+bx+c的图象过点（1，13），所以1+b+c=13，故c=11．
因此，f（x）的解析式为f（x）=x²+x+11．-------------------------------------（5分）
（2）如果函数y=f（x）的图象上存在符合要求的点，设为P（m，n²），其中m为正整数，n为自然数，则m²+m+11=n²，从而4n²-（2m+1）²=43，即[2n+（2m+1）][2n-（2m+1）]=43．------------------（9分）
注意到43是质数，且2n+（2m+1）＞2n-（2m+1），2n+（2m+1）＞0，所
以有

2n+(2m+1)＝43 2n−(2m+1)＝1

解得

m＝10 n＝11.

因此，函数y=f（x）的图象上存在符合要求的点，它的坐标为（10，121）．（14分）