设切点P坐标为（m，n）
y'|_x=m=（4x³+1）|_x=m=4m³+1
∵曲线y=x⁴+x在P点处的切线与直线3x+y=0平行
∴4m³+1=-3解得：m=-1
切点P坐标为（-1，n）在曲线y=x⁴+x上，则n=0
故P点的坐标是（-1，0）
故答案为：（-1，0）