已知:f(x)f[f(x)+1/x]=1 f(x)在定义域单调 定义域x>0 求f(1)
法1:设f(1)=a
令x=1时 f(1)f[f(1)+1]=1 即f(a+1)=1/a
令x=a+1时 f(a+1)f[f(a+1) +1/(a+1)]=1 即f[f(a+1) +1/(a+1)]=a=f(1)
又因为 f(x)在定义域单调
所以 f(a+1) +1/(a+1)=1
1/a +1/(a+1)=1
a=(1+根号5)/2 或 a=(1-根号5)/2
这一过程两个a都成立
法2:设x=b时 x=f(x)+1/x 即 f(b)=b-1/b 且 [f(b)]^2=1
联立 得[b-1/b]^2=1
解得b=(1+根号5 )/2 或 b=(-1+根号5 )/2
由单调得
f((-1+根号5 )/2)=-1 f((1+根号5 )/2)=1
又因为(-1+根号5 )/2
人气:452 ℃ 时间:2020-05-09 16:40:51
解答
法1考虑不周全,a的取值范围没讨论.如果题里可以把a的范围限制一下,就能舍一个解.而把a限制的方法就是法2.换句话说,把两个方法结合一下就行了.最后的解是a=(1-根号5)/2.
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