设{an}与{bn}中一个是收敛数列,另一个是发散数列.证明｛an±bn｝是发散数列.又问｛anbn｝和｛an/bn}（bn≠0｝_数学解答

设{an}与{bn}中一个是收敛数列,另一个是发散数列.证明｛an±bn｝是发散数列.
又问｛anbn｝和｛an/bn}（bn≠0｝是否必为发散数列.

人气：399 ℃　时间：2020-06-22 17:44:02

解答

如果{an+bn}收敛
因{an}也收敛
对任何e
都有N1,N2
使k>N1就有 |(ak+bk) - L |k>N2有 |(ak) - A |取k>N1,N2中较大者,有|bk-(L-A) |=|(ak+bk)-L+(ak-A)|< |(ak+bk) - L |+|(ak) - A |可知{bn}也收敛,矛盾!
故{an+bn}发散.
把bn化入-bn可知{an-bn}发散.
{anbn}得看{an}的极限A:如果A=0则收歛,否则发散.
{an/bn}:如果{an}->A=0或{bn}->无限大则收歛,否则发散.