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数学
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过双曲线
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1 (a>0,b>0)
的左焦点F(-c,0)作圆x
2
+y
2
=a
2
的切线,切点为E,延长FE交抛物线y
2
=4cx于点P,若E为线段FP的中点,则双曲线的离心率为 ___ .
人气:413 ℃ 时间:2019-08-18 22:13:22
解答
设双曲线的右焦点为F',则F'的坐标为(c,0)
因为抛物线为y
2
=4cx,
所以F'为抛物线的焦点 O为FF'的中点,
E为FP的中点所以OE为△PFF'的中位线,
那么OE∥PF'
因为OE=a 那么PF'=2a
又PF'⊥PF,FF'=2c 所以PF=2b
设P(x,y) x+c=2a x=2a-c
过点F作x轴的垂线,
点P到该垂线的距离为2a
由勾股定理 y
2
+4a
2
=4b
2
4c(2a-c)+4a
2
=4(c
2
-a
2
)
得e=
5
+1
2
.
故答案为:
5
+1
2
.
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