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数学
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已知抛物线C的顶点在原点,焦点F在x轴正半轴上,设A、B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴),且|AF|+|BF|=8,线段AB的中垂线恒过定点Q(6,0),求此抛物线的方程.
人气:121 ℃ 时间:2019-08-23 10:11:44
解答
由抛物线的定义可得:
|AF|+|BF|=
x
1
+
p
2
+
x
2
+
p
2
=
x
1
+
x
2
+p=8
∴x
1
+x
2
=8-p.
∵点Q(6,0)在线段AB的垂直平分线上,
∴|QA|=|QB|即:(x
1
-6)
2
+y
1
2
=(x
2
-6)
2
+y
2
2
,
又∵y
1
2
=2px
1
,y
2
2
=2px
2
,
∴(x
1
-6)
2
+2px
1
=(x
2
-6)
2
+2px
2
,
整理得:(x
1
-x
2
)(x
1
+x
2
-12+2p)=0.
∵x
1
≠x
2
∴x
1
+x
2
-12+2p=0即:x
1
+x
2
=12-2p=8-p
解得:p=4,
∴抛物线的方程为y
2
=8x.
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