已知数列{a
n},a
n∈N
*,前n项和S
n=
(a
n+2)
2.
(1)求证:{a
n}是等差数列;
(2)若b
n=
a
n-30,求数列{b
n}的前n项和的最小值.
人气:431 ℃ 时间:2019-08-21 19:39:24
解答
(1)证明:∵a
n+1=S
n+1-S
n=
(a
n+1+2)
2-
(a
n+2)
2,
∴8a
n+1=(a
n+1+2)
2-(a
n+2)
2,
∴(a
n+1-2)
2-(a
n+2)
2=0,(a
n+1+a
n)(a
n+1-a
n-4)=0.
∵a
n∈N
*,∴a
n+1+a
n≠0,
∴a
n+1-a
n-4=0.
即a
n+1-a
n=4,∴数列{a
n}是等差数列.
(2)由(1)知a
1=S
1=
(a
1+2)
2,解得a
1=2.∴a
n=4n-2,
b
n=
a
n-30=2n-31,(以下用两种方法求解)
法一:
由b
n=2n-31可得:首项b
1=-29,公差d=2
∴数列{b
n}的前n项和s
n=n
2-30n=(n-15)
2-225
∴当n=15时,s
n=225为最小;
法二:
由
0得
≤n≤
.∵n∈N
*,∴n=15,
∴{a
n}前15项为负值,以后各项均为正值.
∴S
15最小.又b
1=-29,
∴S
15=
=-225
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