求证:在三角形ABC中,向量PA+向量PB+向量PC=0响亮的充要条件是P为三角形的重心
人气:124 ℃ 时间:2019-07-29 19:28:39
解答
当P是三角形ABC的重心
延长AP交BC于D,再延长到E,使|DE|=PD|,连接BE,EC
则:|PD|=(1/2)|PA|,|PE|=|PA|,向量PA=-向量PE
因D是BC中点,又是PE中点
所以:PBEC是平行四边形
所以:向量PB+向量PC=向量PE=-向量PA
向量PA+向量PB+向量PC=0向量
当向量PA+向量PB+向量PC=0向量
作BE平行PC,CE平行PB,交于E
连接PE,交BC于D
则:PBEC是平行四边形,所以:向量PE=向量PB+向量PC,同时D是BC中点
而:向量PA+向量PB+向量PC=0向量
所以:向量PA+向量PE=0向量
向量PA=-向量PE
所以:P,A,E共线,即AP延长线与BC交于BC的中点
同理可证:BP延长线与AC交于AC的中点,CP延长线与AB交于AB的中点
所以:P为三角形的重心
所以:在三角形ABC中,向量PA+向量PB+向量PC=0向量的充要条件是P为三角形的重心.
推荐
- 已知向量PA+向量PB+向量PC=0,求证P点为三角形ABC的重心点
- .已知G为三角形ABC的重心,P为平面上任意一点,求证向量PG=1/3(向量PA+向量PB+向量PC)
- 向量PA*PB=PB*PC=PC*PA,求证P为三角形ABC的垂心
- 若G为△ABC的重心.P为平面上任一点.求证:向量PG=1\3(PA+PB=PC) { PG,PB.PA.PC}为向量
- 已知P是三角形ABC所在平面内一点,若PA(向量)*PB(向量)=PB*PC=PC*PA,则P是三角形ABC的什么心?
- 用“精”组成八个词,并分别填出在下列句子的括号里.
- 如图,某围墙外面的小路形成一个边长300米的正方形.甲、乙分别从两个对角处沿逆时针方向同时出发.如果甲每分走90米,乙每分走70米,那么经过多少时间甲才能看到乙?
- 已知x是实数,|3x-1|+|4x-1|+|5x-1|+|6x-1|+...|17x-1|的值是一个确定的常数,求这个常数是多少?
猜你喜欢