设数列{an}的各项都是正数,Sn是其前n项和,且对任意n∈N*都有an2=2Sn-an.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=(2n+1)2an,求数列{bn}的前n项和Tn.
人气:230 ℃ 时间:2020-05-13 00:18:21
解答
(1)∵a
n2=2S
n-a
n,
∴当n=1时,
a12=2a
1-a
1,即
a12=a
1,
∵a
1>0,a
1=1…1分
又
an+12=2S
n+1-a
n+1,
∴
an+12-
an2=2(S
n+1-S
n)-a
n+1+a
n,
即(a
n+1-a
n)(a
n+1+a
n)=a
n+1+a
n,{a
n}的各项都是正数,
∴a
n+1-a
n=1…4分
∴数列{a
n}是1为首项,公差为1的等差数列,
∴a
n=n…6分
(2)由(1)知,b
n=(2n+1)
2an=(2n+1)•2
n,
∴T
n=b
1+b
2+…+b
n=3×2+5×2
2+…+(2n+1)•2
n①
∴2T
n=3×2
2+5×2
3+…+(2n-1)×2
n+(2n+1)•2
n+1②…8分
①-②得:-T
n=3×2+2×2
2+2×2
3+…+2×2
n-(2n+1)•2
n+1=6-(2n+1)•2
n+1+
=-(2n-1)•2
n+1-2,
∴T
n=(2n-1)•2
n+1=2…12分
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