高等代数题设B是m×n的实矩阵,X＝(x1,x2,...,xn)是实向量,证明：齐次线性方程组BX=0只有零解等价于B'B是正定矩_数学解答

高等代数题
设B是m×n的实矩阵,X＝(x1,x2,...,xn)是实向量,证明：齐次线性方程组BX=0只有零解等价于B'B是正定矩阵

人气：455 ℃　时间：2020-05-07 17:19:32

解答

BX=0只有零解,那么对于所有的非零列向量X,都有BX≠0
所以X'B'=(BX)'≠0
由于(BX)'是1xn行矩阵,
BX是nx1列矩阵
所以,对于任意的非零矩阵x,满足
X'[B'B]X>0
所以
B'B是正定矩阵
要证等价,再逆着推回去就行了