先证其特征值只能为0和1
设k是他的特征值,a为其对应的特征向量
A^2a=Aka=k^2a
因为A^2=A,故A^2a=Aa=ka
(k^2-k)a=0,因为a为非零向量故k=0或1
再证,矩阵的秩等于其非零特征值的个数.
因为A(A-E)=0
故n=r(A-(A-E))=r(A-E)
但1的重数加0的重数不大于n,夹逼得1的重数=r(A)
命题成立.