已知a1=1,点(an,an+1＋2)在函数f(x)=x^2+4x+4的图像上,其中n=1,2,3,4...(1)证明：数列｛lg_数学解答

已知a1=1,点(an,an+1＋2)在函数f(x)=x^2+4x+4的图像上,其中n=1,2,3,4...(1)证明：数列｛lg（an＋2）｝...
已知a1=1,点(an,an+1＋2)在函数f(x)=x^2+4x+4的图像上,其中n=1,2,3,4...
(1)证明：数列｛lg（an＋2）｝是等比数列；
(2)设数列｛an＋2｝的前n项积为Tn,求Tn及数列｛an｝的通项公式；

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解答

f(x) = x^2+4x+4 = (x+2)^2
由题意 a(n+1) +2 = (an+2)^2 → lg（a(n+1)＋2） = 2lg（an＋2）; 而lg（1＋2）=lg3
所以｛lg（an＋2）｝是以 lg3为首项,2为公比的等比数列
Tn = (a1+2)*(a2+2)*..*(an+2) 两边取对数
lg Tn = lg[(a1+2)*(a2+2)*..*(an+2)] = lg(a1+2)+lg(a2+2)+...+lg(an+2)
= lg3*(1+2+3+..+2^(n-1)) = lg3(2^n-1)
Tn = 10^lg3(2^n-1) = 3*10^(2^n-1)