将圆的方程化为标准方程得：（x-1）²+（y-2）²=4，
可得出圆心坐标为（1，2），
将x=1，y=2代入A选项得：x+y-1=1+2-1=2≠0，故圆心不在此直线上；
将x=1，y=2代入B选项得：x+y+3=1+2+3=6≠0，故圆心不在此直线上；
将x=1，y=2代入C选项得：x-y+1=1-2+1=0，故圆心在此直线上；
将x=1，y=2代入D选项得：x-y+3=1-2+3=2≠0，故圆心不在此直线上，
则直线x-y+1=0将圆平分．
故选C