已知曲线f（x）=ax3+b经过点（0，1），且在x=1处的切线方程是y=3x-1，（1）求y=f（x）的解析式；（2）求曲线过点_数学解答

已知曲线f（x）=ax³+b经过点（0，1），且在x=1处的切线方程是y=3x-1，
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）求曲线过点（-1，0）的切线的方程．

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解答

（1）因为f′（x）=3ax²
所以f′（1）=3a，又因为函数在f（x）处的切线方程是y=3x-1
所以3a=3⇒a=1，
又因为f（x）=ax³+b的图象过（0，1）
所以b=1，
所以f（x）=x³+1；
（2）设切点为（m，n），
f′（x）=3x²，则3m²=

m+1

，
f（m）=n，即m³+1=n．
解得m=-1或

，
故切线的斜率为3或

．
所以由点斜式可得切线方程为y=3x+3或y=

．