一道高二的数学不等式证明题已知二次函数f(x)=ax^2+bx+1(a,b属于R,a>0),设方程f(x)=x的两个实数根为x1和_数学解答

一道高二的数学不等式证明题
已知二次函数f(x)=ax^2+bx+1(a,b属于R,a>0),设方程f(x)=x的两个实数根为x1和x2.
（1）如果x1<2-1
（2）如果|x1|<2,|x2-x1|=2,求b的取值范围

人气：284 ℃　时间：2020-06-19 21:03:57

解答

（1）f(x)=x，即g(x)=ax^2+(b-1)x+1=0(a b属于R a>0)
若两根为c和d且c<2只需g(x)中△=(b-1)^2-4a>0
且g(2)<0,g(4)>0
得4a+2b-1<0,16a+4b-3>0,则8a+2b-3/2>0>6a+3b-3/2
即2a-b>0,b<2a，又a>0，则b/2a<1
对称轴为直线x=x。=-b/2a>-1
得证
(2)ax^2+(b-1)x+1=0两根为c和d
则△=(b-1)^2-4a>0，c+d=(1-b)/a,cd=1/a
2>a>0,|c-d|=2
所以(c-d)^2=(c+d)^2-4cd=4
代入解得12a=(b-1)^2>4a。对于a>0恒成立
0<(b-1)^2=12a<12*2=24
所以1-2√6得b的取值范围：(1-2√6,1)∪(1,1+2√6)