已知a ,b, c三个正实数,求证:(ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c²)≥16abc
人气:341 ℃ 时间:2020-02-05 21:01:09
解答
04175106811,
∵ab+a+b+1=(a+1)×(b+1),
ab+ac+bc+c^2=(a+c)×(b+c),
∴(ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c^2)=(a+1)(b+1)(a+c)(b+c).
∵a、b、c∈R+,
∴a+1≥2√a>0,b+1≥2√b>0,
a+c≥2√ac>0,b+c≥2√bc>0.
∴(a+1)×(b+1)×(a+c)×(b+c)≥2√a×2√b×2√ac×2√bc=16abc,
即(ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c^2)≥16abc.
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