已知二次函数f(x)=ax^2+bx(a≠0),且f(x+1)为偶函数,定义:满足f(x)=x的实数x成为函数f(x)的“不动点”,若函数f(x)有且仅有一个不动点.
是否存在区间[m,n](m
人气:492 ℃ 时间:2019-08-21 08:13:05
解答
f(x+1)=ax^2+(2a+b)x+a+1为偶函数,即2a+b=0
又因为f(x)=x只有唯一解,即方程ax^2+bx=x只有一解,△=(b-1)^2=0,所以b=1,a=-1/2
f(x)=-x^2/2 + x
当对称轴x=1∈[m,n]时,值域中3n为最大值1/2,即n=1/6,显然不可能使x=1∈[m,n]
当m>1时,f(m)=3n,f(n)=3m,显然m,n均大于0,由f(x)>0,可知m,n∈[1,2],即3m,3n∈[3,6],但f(x)的最大值不超过1/2,显然此时m、n不存在
当n<1时,f(m)=3m,f(n)=3n,解得m=-4,n=0
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