已知圆C：（x-1）2+（y-2）2=25，直线L：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R）（1）证明：无论m取什么实_数学解答

已知圆C：（x-1）²+（y-2）²=25，直线L：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R）
（1）证明：无论m取什么实数，L与圆恒交于两点；
（2）求直线被圆C截得的弦长最小时直线L的斜截式方程．

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解答

（1）将直线l方程整理得：（x+y-4）+m（2x+y-7）=0，
由

x+y−4＝0

2x+y−7＝0

，解得：

x＝3

y＝1

，
∴直线l恒过A（3，1），
∵（3-1）²+（1-2）²=5＜25，
∴点A在圆C内部，
则直线l与圆恒有两个交点；
（2）由圆的方程得到圆心M（1，2），当截得的弦长最小时，直线l⊥AM，
∵k_AM=-

，∴直线l斜率为2，
则直线l的方程为y-1=2（x-3），即2x-y-5=0．